GRAVIDADE DE GRACELI

GRAVIDADE DE GRACELI.

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

$\kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \$ / $[$ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\Delta R=GM/(3c^{2})$ / $[$ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

VARIEDADE, INTEGRAL, SUPERFÍCIE, GEOMETRIA CURVA N-DIMENSIONAL GRACELI, ESFERAS E CURVAS DE GRACELI.

definimos a integral de GRACELI de $\phi (x)\,$ como:

\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

E RELATIVIDADE GENERALIZADA GRACELI.

definimos a integral de GRACELI de $\phi (x)\,$ como:

\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

] [

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

] [

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

Equações de campo de Einstein

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

definimos a integral de Lesbesgue de $\phi (x)\,$ como:

\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,

Em uma variedade riemanniana as geodésicas em torno de um ponto exibem comportamentos atípicos com relação à geometria euclidiana. Por exemplo, em um espaço euclidiano podem ter-se linhas retas paralelas cuja distância se mantem constante, entretanto, em uma variedade riemanniana os feixes de geodésicas tendem a divergir (curvatura negativa) ou a convergir (curvatura positiva), segundo seja a curvatura seccional de tal variedade. Todas as curvaturas podem ser representadas adequadamente pelo tensor de curvatura de Riemann que é definível a partir das derivadas de primeira e segunda ordem do tensor métrico. O tensor de curvatura em termos dos símbolos de Christoffel e usando a convenção de somatório de Einstein que é dada por:

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

Uma relação interessante que torna claro o significado do tensor de curvatura é que se só consideradas coordenadas normais $\scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}$ centradas em um ponto p no entorno de determinado ponto a métrica de toda variedade riemanniana pode ser escrita como:

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

Pode se ver que se o tensor de Riemann é anulado identicamente então localmente a métrica se aproxima da métrica euclidiana e a geometria localmente é euclidiana. No caso de que o tensor não seja nulo, seus componentes dão uma ideia de quanto se distancia a geometria da variedade riemanniana da geometria de um espaço euclidiano de mesma dimensão.

no qual ${T^{\lambda }}_{\mu \nu }$ é o tensor de torção

A solução para um Universo isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a Métrica de Friedmann-Robertson-Walker. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolução que predizem um Universo em expansão. Em 2016, uma equipe de cosmólogos mostrou que o universo é "isotrópico", ou o mesmo, não importa maneira que é observado: Não há eixo de rotação ou qualquer outra direção especial no espaço.^[1]

Forma matemática da equação do campo de Einstein

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

onde o tensor $G_{\mu \nu }\$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico $g_{\mu \nu }$ , e $T_{\mu \nu }$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de $\pi$ é Pi, $c$ é a velocidade da luz e $G$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}

onde além disso $R_{\mu \nu }\$ é o tensor de curvatura de Ricci, $R$ é o escalar de curvatura de Ricci e $\Lambda$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

$g_{\mu \nu }$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar $\kappa$ do espaço é proporcional à densidade aparente $\rho$ :

\kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \

onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

\Delta R=GM/(3c^{2})

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ $10^{-33}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell

Se o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\

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